Question

高中-圆锥曲线

已知双曲线的交点F1(-√5,0),F2(√5,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2,
|PF1|*|PF2|=2.求次双曲线的方程

若直线 y=x+m 与 y=-√(x^2-4) 有且仅有一个公共点，求m的取值范围

平面上动点p到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程

Answer 1

1、c=√5，双曲线方程设为x²／a²－y²／（5－a²）＝1...............①
有PF1⊥PF2得OP=c即x²＋y²＝c²..............②,两式解得x²=(10a²-a^4)／5.........③.
有|PF1||PF2|=2得(ex-a)(ex+a)=2,即e²x²-a²=2...........④,
将③带入④得a²=4,b²=c²-a²=1.所求曲线方程为x²／4-y²=1.
2、后式变为x²-y²=4,(y≤0),直线方程带入得2mx+m²+4=0.
因为y≤0，显然直线过左顶点（-1,0）时，满足条件，此时m=1。
过右顶点时恰好有两个交点，此时m=-1。所以m取值范围-1＜m≤1.
3、P到F（1,0）比到y轴的距离大1，就是P到F的距离和到x=-1的距离相等。满足抛物线定义。
方程为y²＝4x,