Question

随机过程的功率谱密度和自相关函数有什么关系？

Answer 1

一、物理上：

1、相关函数在时间域上描述随机过程的统计特征，功率谱是在频率域上描述随机过程的统计特征。

2、二者所提供的信息完全一致，功率谱易于获得应用十分普遍。

二、数学上：

功率谱等于相关函数的傅里叶变换，相关函数等于功率谱的傅立叶逆变换。

1、功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。

2、功率谱密度的定义是单位频带内的“功率”（均方值）。

3、功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。

4、自相关（英语：Autocorrelation），也叫序列相关，是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。它常用于信号处理中，用来分析函数或一系列值，如时域信号。

Answer 2

功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，自相关函数是功率谱密度的傅里叶逆变换，它们是傅里叶变换对。
另外，功率谱密度一般都是对平稳随机过程而言的，即自相关函数只与时间差τ有关，是τ的函数。否则，自相关函数是两个变量t1与t2的函数，无法做傅里叶变换。

Answer 3

物理上：相关函数在时间域上描述随机过程的统计特征；功率谱是在频率域上描述随机过程的统计特征。二者所提供的信息
完全一致；功率谱易于获得应用十分普遍。
数学上：功率谱等于相关函数的傅里叶变换；
相关函数等于功率谱的傅立叶逆变换。