Question

高中数学 解析几何

已知双曲线E的中心在原点 ，F（3，0）是E 的焦点，过F的直线L与E相交于AB两点，且AB的中点为M（-12，-15）求E的方程

若O和F分别为椭圆 x^2/4+y^2/3=1的中心和左焦点，点P在椭圆上，求（OP向量）*（FP向量）最大值

设椭圆的左右焦点为F1和F2，以F2为圆心作椭圆的中心并交椭圆于MN两点，若直线MF1是圆F2的切线，求椭圆的离心率

Answer 1

第一题常用“点差法”求解，由于过焦点F以及AB中点可知斜率K=（-15-0）/(-12-3)=1
设双曲线方程X^2/a^2-Y^2/(9-a^2)=1两式作差得 设A（x1，y1）B（x2,Y2)
(9-a^2)(x1+x2)(x1-x2)-a^2(y1+y2)(y1-y2）=0 x1+x2=-24 y1+y2=-30
两边同时除（x1-x2）得K，将先前算的K带入，方程化为仅含有a的表达式，求解。
解得a=2
所以双曲线的方程为x^2/4-y^2/5=1
本题还可以采用算出直线AB的方程，然后与双曲线联立利用伟达定理解。
我个人建议采用点差法较为简便。
语言简略，打字不太方便，还请多多谅解！