Question

高中数学-圆锥曲线

直线l 过抛物线y^2=4x的焦点，与抛物线交与A、B两点。若|AB|=8 求 直线l 的方程

抛物线y=2x^2上的两点A（x1，y1） B(x2,y2)关于y=x+m对称，且x1*x2= - 0.5 求m=?

椭圆x^2/45+y^2/20=1 的左右焦点分别为F1和F2,过中心O作直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的面积为20 ，求直线AB的方程

Answer 1

1、设A（x1,y1）B(x2,y2),直线方程：x=my+1,(这样设可以避免斜率不存在时的讨论)
带入抛物线方程得y²-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4,有弦长公式得
8=√（1／m²+1）|y1-y2|=√（1／m²+1）√[(y1+y2)²-4y1y2],将上面的带入解得m=1.
所求方程为x-y-1=0.
2、 解A，B关于y=x+m对称，AB斜率为-1。即（y2-y1）／（x2-x1）=-1
,即（2（x2）²-2(x1)²）／(x2-x1)=-1.解得x1+x2=-0.5.又x1x2=-0.5。
则x1=-1,x2=0.5.y1=2,y2=0.5.AB中点（0.25,1.25）在直线y=x+m上，带入解得m=1。
3、设A(x1,y1)B(x2,y2),直线方程x=my,带入椭圆方程得(4m²+9)y²-180=0, y1+y2=0,
y1y2=-180／（4m²＋9）.三角形ABF2面积=0.5c|y1-y2|
=2.5√（4×180／（4m²＋9）.)=20.
解得m=±3／4,所求直线方程为y=±4x／3,