Question

已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求 （1）y－x的最小值和最大值；（2）x2+y2的最大值和最小值.

Answer 1

x²+y²-4x+1=0
x²+(y-2)²=3
设圆上一点坐标(√3cosθ，√3sinθ+2)，其中，θ∈[0，2π)
(1)
y-x=√3sinθ+2-√3cosθ
=√6[(√2/2)sinθ-(√2/2)cosθ]+2
=√6sin(θ- π/4)+2
-1≤sin(θ- π/4)≤1
2-√6≤√6sin(θ- π/4)+2≤2+√6
y-x的最大值为2+√6，最小值为2-√6
(2)
x²+y²=(√3cosθ)²+(√3sinθ+2)²
=4√3sinθ+7
-1≤sinθ≤1
7-4√3≤4√3sinθ+7≤7+4√3
x²+y²的最大值为7+4√3，最小值为7-4√3

Answer 2

x^2+y^2－4x+1=0
(x-2)^2 +y^2 = 3
x=2+√3cosθ
y=√3sinθ
(1)
y－x
=√3sinθ -√3cosθ -2
=√6.sin(θ-π/4) -2

最小值 y-x = -√6 -2
最大值 y-x = √6 -2
(2)
x^2 +y^2
=(2+√3cosθ)^2 +(√3sinθ)^2
=7 + 4√3cosθ
x^2+y^2
最大值 =7 + 4√3
最小值=7 - 4√3

Answer 3

解：设a=y/x
y=ax
所以(a²+1)x²-4x+1=0
x是实数则△>=0
16-4a²-4>=0
a²<=3
所以最大值是√3，最小值是-√3