Question

在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧） 与Y轴交于点C，点B的坐标为

在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）
与Y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）,将直线y=kx沿Y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点。
⑴求直线BC及抛物线的解析式：
(2)求△ABC面积
（3）设抛物线顶点为D，P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求P坐标

Answer 1

将直线y=kx沿Y轴向上平移3个单位长度后为y=kx+3
点B的坐标为(3,0)代入得：3k+3=0，解得k=-1
所以BC直线方程为：y=-x+3
所以C点坐标为(0,3)
BC点代入y=x^2+bx+c得：
9+3b+c=0
c=3
解得：b=-4,c=3
所以抛物线解析式为：y=x^2-4x+3

求得A点坐标为(1,0)，顶点D坐标为(2,-1)
tan[OCA]=1/3；角OCA=arctan[1/3]
tan[OCD]=2/(3-(-1))=1/2；角OCD=arctan[1/2]

角ADP=角ABC=45度。
所以当三角形ABC和APD相似时，角APD=角ACB
AB/AD＝PD/BC
根据坐标得：
AB=2；AD=√2；BC=3√2
代入得：PD=6
所以P点纵坐标为5

即P点坐标为(2,5)

Answer 2

解：c坐标（0,3），直线BC：y=kx+3,代入B点坐标（3，0）,k=-1,
直线BC：y=-x+3,
抛物线y=x2+bx+c,代入B、C两点坐标可求抛物线方程：y=x2-4x+3 ，A点坐标为（1,0）
2.△ABC面积=1/2*AB*3=3.
3.y=x2-4x+3 的顶点D的坐标：（2，-1），直线CA的斜率k1=-3,直线CB的斜率k2=-1
tan∠ACB=(k2-k1)/(1+k1k2)=1/2.则PA的斜率k=1/2或k=-1/2,
直线AP为：y=1/2x-1/2 或y=-1/2x+1/2 ，当x=2,y=1/2或y=-1/2.
所以点P的坐标为：（2,1/2），（2，-1/2）

Answer 3

（1）由题可知，直线BC方程为y=kx+3,把B坐标带入直线，得出c坐标（0,3），再把B,C两点坐标带入抛物线方程得出y=x2-4x+3
(2)已知抛物线方程，令y=0得出X=1或x=3，因为点A在点B的左侧，所以A(1,0)
AB=2，OC=3，所以s△ABC=1/2*2*3=3