Question

高中数学 求详细过程 感谢

Answer 1

如图所示，延长A1E交AB的延长线于点G，取DD1的中点F，

连接A1F并延长交AD的延长线于点H，连接AC、GH。

因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中点E、F分别为BB1、DD1的中点，

所以A1F平行且等于EC，点A1、E、C、F共面，即点F在平面A1EC上，

又因为点G、H分别在A1E、A1F的延长线上，

所以点A1、E、C、F、G、H共面，即平面A1EC与平面A1GH为同一平面，

由△AA1G∽△BEG且AA1=2BE可知AB=BG，同理可知AD=DH，

所以AG=AH，△AGH为等腰直角三角形，点C恰为GH中点，有AC⊥GH，

由△AA1G≌△AA1H可知A1G=A1H，△A1GH为等腰三角形，点C为GH中点，

所以A1C⊥GH，所以∠ACA1即为平面A1GH与平面ABCD所成二面角的平面角，

在直角△AA1C中设AA1=x，易知AC=(√2)x，A1C=(√3)x，

所以cos∠ACA1=AC/A1C=(√2)x/(√3)x=√6/3，

即平面A1GH与平面ABCD所成二面角的余弦值为√6/3，选C。

Answer 2

直接建立空间直角坐标方程写坐标，算出两个平面的法向量，算出两个法向量的余弦值即为所求