Question

高等数学中定积分换元的相关问题

请问图中这个定积分 我令根号为t之后上下限相同是什么原因呢

Answer 1

∫√（1+sinx）dx＝∫√［sin＾2（x／2）＋cos＾2（x／2）＋2sin（x／2）cos（x／2）］dx
＝∫［sin（x／2）＋cos（x/2）］dx
＝2∫［sin（x／2）＋cos（x／2）］d（x／2）
＝2［sin（x／2）-cos（x／2）］（0，丌）
＝2［（1-0）-（0-1）］
＝4

追问

我换元上下限为0的原因呢

Answer 2

用第二换元积分法计算定积分有一个基本要求经常被忽略：所作代换x＝Ψ(t)必须在原积分区间对应的t的变化范围内是单调的！
题主的问题就是忽略了上述基本要求：在令t＝√(1+sinx)之后，容易求出x＝arcsin(t^2-1)，这个函数显然在对应的t的变化区间内并不单调。

追答

之所以说最后的函数并不单调，是因为一旦它单调，那么依据反函数的单调性定理，其反函数x＝√(1+sinx)应该在[0, π]上单调，而这显然是不成立的

追问

请问根据你回答的 一个函数单调 其反函数也单调的吗

追答

连续的严格单调函数其反函数也严格单调

Answer 3

不换元最好。

Answer 4

希望有所帮助

追问

请问我换元上下限为0的原因呢

追答

这个不是单调函数，如果要换元，首先分区域，应该变为0到pi/2和pi/2到pi，希望有所帮助

分两个区间来积分

望采纳哦