Question

高数。微分方程。求详细过程！

例 19.4

Answer 1

需知道微分中值定理在二元情形下仍然成立。于是有[f(x y)-f(x0 y0)]/[g(x y)-g(x0 y0)]=(f'xdx+f'ydy)/g'xdx+g'ydy，取极限即得结论。二元微分中值定理的证明与一元类似，，先证Rolle中值定理。f在凸域上连续可微，且f(b)=f(a)，则存在c位于a与b的连线上，使得f'x(c)(bx-ax)+f'y(c)(by-ay)=0。记号说明:a=(ax ay) b=(bx by)是两个点。c也可记为c=a+d(b-a)，其中d是实数，满足0<d<1。证明用F(t)=f(a+t(b-a))，t在【0 1】上变化，用一元的Rolle中值定理容易证明。有了二元Rolle中值定理，就可以证明二元Cauchy中值定理。[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'x(cx-ax)+f'y(cy-ay)]/[g'x(cx-ax)+g'y(cy-ay)]。令F(x)=(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(x)-f(a))，则F(x)满足二元Rolle中值定理，故存在F'x(c)(bx-ax)+F'y(c)(by-ay)=0。注意d(bx-ax)=(cx-ax)，d(by-ay)=(cy-ay)，其中d位于0和1之间，代入，化简即得Cauchy中值定理。