向心力公式的推导确实算是一个难点(至少我当时自己推没推出来)。首先你要弄清楚的是，由于圆周运动的持续性，这里引进了一前(v0)一后(vt)两个速度以及它们之间的速度差△v（通过矢量的三角形法则得到）。然后通过一个比较新奇的思路“极限法”进行求解。所谓极限法，就是将速度转变时间△t看做无限趋近于零，这样所求得的向心加速度就会无限趋近于瞬时加速度（同时我们可以把运动所经过的路程近似成直线，原本是条弧线）。手上没圆规所以盗个百度上的图(我稍微修改了一下)。
以上是对于证明的前置条件的说明，接下来开始证明的主体。证明中已知v0，vt，圆半径R。首先我们要明确我们要求的是什么，是向心加速度a。而在整个运动过程中，只有向心加速度一个加速度对于运动施加影响，所以我们可以得到这样一个公式△v=a△t。但仅仅这一个式子还不足以推导出向心加速度的表达式，因为△v和△t都是设出来的量，而不是已知量。因此我们要构建一个模型将设的量和已知量联系起来。这就是你笔记里提到的相似。在图中，我们可以很轻松地证明△OAB和三个速度组成的矢量三角形相似。然后由相似的性质我们就可以得到△v/v0=AB/R。在之前的前置条件里，我提到，在△t无限趋近于0的条件下，路程，即弧线AB无限趋近于直线AB，因此我们还可以得到一个式子AB≈(无限趋近于)弧线AB =路程=v0*△t。现在我们一共有三个式子:△v=a△t①，△v/v0=AB/R②，AB≈(无限趋近于)弧线AB =路程=v0*△t③。将①③带入②就可以得到a△t/v0=v0*△t/R，化简可得a=v0²/R 。又在矢量三角形 中当△v的大小无限趋近于零时△v与v0、vt所成角无限趋近于九十度，所以向心加速度方向与原速度方向垂直，证明结束。结论为向心加速度a=v0²/R，速度方向垂直于圆周运动速度方向。
