Question

高中数学椭圆题求解

Answer 1

(1).当P在椭圆上顶点时∆PAB的面积s最大,Smax=(1/2)×2ab=ab=2.......①
e=c/a=(√3)/2.........②；a²=b²+c².........③; ①②③联立解得：a²=4；b²=1；c²=3；
故椭圆方程为：x²/4+y²=1; ∴A(-2，0)；B(2，0)；
(2).设P(2cost, sint)；则PA的斜率K₁=sint/(2cost+2); PB的斜率K₂=sint/(2cost-2);
∴K₁K₂=sin²t/(4cos²t-4)=-sin²t/[4(1-cos²t)]=-1/4=常数。
(3).PA所在直线的方程为：y=K₁(x+2)=[sint/(2cost+2)](x+2)；
PB所在直线的方程为：y=K₂(x-2)=[sint/(2cost-2)](x-2)；
令两式中的x=6，得y₁=4sint/(cost+1)；y₂=2sint/(cost-1)；(y₁>0；y₂<0)
园的直径D=∣y₁∣+∣y₂∣=y₁-y₂=[4sint/(cost+1)]-[2sint/(cost-1)]=(6-2cost)/sint；
当园的直径D最小时也就是园的面积最小。为此令dD/dt=[2sin²t-(6-2cost)(cost)]/sin²t
=(2-6cost)/sin²t=0，得极小点的cost=1/3；相应地sint=(2/3)√2；
故Dmin=[6-(2/3)]/[(2/3)√2]=4√2；半径Rmin=Dmin/2=2√2;
园心坐标(6,yo)：
yo={[4×(2/3)√2/(1/3+1)]+[2×(2/3)√2/(1/3-1)]}/2=(2√2-2√2)/2=0;
∴面积最小的园的方程为：(x-6)²+y²=8

Answer 2

(1) c/a=√3/2
c²/a²=3/4
c²=3a²/4
b²=a²-c²
b²=a²/4
P在椭圆短轴顶点时，即P(0,b)，S△PAB最大：1/2·2a·b=2
ab=2
a²b²=4
a²·a²/4=4
a²=4
a=2
b²=4/4=1
椭圆C方程：x²/4+y²=1
(2) 椭圆C的参数方程为：x=2cosα，y=sinα
设P(2cosα,sinα)
A(-2,0)、B(2,0)
kPA=sinα/(2cosα+2)
kPB=sinα/(2cosα-2)
kPA·kPB=sinα/(2cosα+2)·sinα/(2cosα-2)
=sin²α/[4(cos²α-1)]
=sin²α/(-4sin²α)
=-1/4
∴kPA·kPB是定值。
(3) 直线PA方程：(y-0)/(x+2)=(sinα-0)/(2cosα+2)
y=(x+2)sinα/(2cosα+2)
x=6时，y=8sinα/(2cosα+2)=4sinα/(cosα+1)
M(6,4sinα/(cosα+1))
直线PB方程：(y-0)/(x-2)=(sinα-0)/(2cosα-2)
y=(x-2)sinα/(2cosα-2)
x=6时，y=4sinα/(2cosα-2)=2sinα/(cosα-1)
N(6,2sinα/(cosα-1))
|MN|=4sinα/(cosα+1)-2sinα/(cosα-1)
=[4sinα(cosα-1)-2sinα(cosα+1)]/(cos²α-1)
=(2sinαcosα-6sinα)/(-sin²α)
=(6-2cosα)/sinα
圆半径r=|MN|/2
=(3-cosα)/sinα
圆面积：S=πr²
=π[(3-cosα)/sinα]²
=π(9-6cosα+cos²α)/sin²α
=π(9-6cosα+cos²α)/(1-cos²α)——令t=cosα
=π(9-6t+t²)/(1-t²)
dS/dt=π[(-6+2t)(1-t²)-(9-6t+t²)(-2t)]/(1-t²)²
=π(-6+6t²+2t-2t³+18t-12t²+2t³)/(1-t²)²
=-π(6t²-20t+6)/(1-t²)²
=-2π(3t-1)(t-3)/(1-t²)²
dS/dt=0时，-2π(3t-1)(t-3)/(1-t²)²=0
(3t-1)(t-3)=0
∵t=cosα<=1
∴3t-1=0
t=1/3
∵已知S有最小值
∴t=1/3时，S取得最小值。
cosα=1/3
sinα=√(1-cos²α)=2√2/3
r=(3-1/3)/(2√2/3)
=2√2
圆心D(6,y0)

y0=[4sinα/(cosα+1)+2sinα/(cosα-1)]/2
=2sinα/(cosα+1)+sinα/(cosα-1)
=[2sinα(cosα-1)+sinα(cosα+1)]/(cos²α-1)
=(3sinαcosα-sinα)/(-sin²α)
=(3cosα-1)/(-sinα)
=(1-3cosα)/sinα
=(1-3×1/3)/(2√2/3)
=3√2/4
D(6,3√2/4)
圆D方程：(x-6)²+(y-3√2/4)²=8

Answer 3

1
c/a=√3/2，c^2/a^2=3/4，
a^2：b^2：c^2=4：1：3
P(x，y)，
S=a*|y|<=ab
ab=1/2，a^2=1，b^2=1/4
椭圆方程：x^2+4y^2=1
2
k1*k2=y^2/[(x-a)(x+a)]=y^2/(x^2-1)=y^2/(4y^2)=1/4为定值，
3
不方便说的文字，点出来的网页中，点击"我来答题"按钮无效，

Answer 4

P在椭圆短轴顶点时ΔPAB的AB边上的高最大。面积最大=2ab/2=ab
c/a=√3/2，a.b.cΔ，b=a/2
ab=a²/2=2，a=2,b=1

追答

最后一步错了。