Question

.O为坐标原点，过点P（2，0），且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M（x1,y1),N(x2,y2)两点，求证OM⊥ON

Answer 1

直线MN的方程为：y=k(x-2) (k≠0)

代入抛物线方程：k(x-2)²=2x

整理，得到：

k²x²-(4k²+2)x+4k²=0

故：

x1+x2=(4k²+2)/k²=4+2/k²……①

x1x2=4k²/k²=4……②

向量OM：(x1，y1)，向量ON：(x2，y2)

∵OM⊥ON

∴应该满足：x1x2+y1y2=0

而：

x1x2+y1y2

=x1x2+k(x1-2)k(x2-2)

=(k²+1)x1x2-2k²(x1+x2)+4k²

将①、②代入计算可得：

x1x2+y1y2

=(k²+1)*4-2k²(4+2/k²)+4k²=0

因此：OM⊥ON

OK~