Question

求这个数列的通项公式

A(0)=0
A(1)=1
A(2i)=A(i) (对于任意 i>0)
A(2i+1)=A(i)+A(i+1) (对于任意 i>0)

Answer 1

A(0)=0
A(1)=1
A(2i)=A(i) (对于任意 i>0)
A(2i+1)=A(i)+A(i+1) (对于任意 i>0)，
所以A2=A1=1,
A3=A1+A2=2,
A4=A2=1,
A5=A2+A3=3,
A6=A3=2,
A7=A3+A4=3,
A8=A4=1,
A9=A4+A5=4,
A10=A5=3,
很难得出通项公式。但A(2^n)=1,
A(2^(n+1)+1)=A(2^n)+A(2^n+1)=1+A(2^n+1),
仅供参考。

追问

所以通项公式是a(x)=?

Answer 2

A(2i)=A(i)
A(2i+1)=A(i)+A(i+1)
将 i 转化为二进制，即 i=(x1)*2^0+(x2)*2^1+(x3)*2^2+……+(xn)*2^n

{xn}只含0,1
则A(i)=∑xn *A(1)

追问

所以通项公式是a(x)=? 不能带a(.)的

Answer 3

数列1、2、4、7、11、16、22、29、……中相邻的两项的差,
依次是1、2、3、4、5、6、7、……是一个等差数列，
所以，原数列1、2、4、7、11、16、22、29、……称二阶等差数列，其通项公式为：
An=A1+(n-1)(A2-A1)+(n-1)(n-2)d2/2!
=1+(n-1)+(n-1)(n-2)/2
=(2+2n-2+n^2-3n+2)/2
=(n^2-n+2)/2
求和公式为：
Sn=n+n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6
=(6n+3n^2-3n+n^3-3n^2+2n)/6
=(n^3+5n)/6
=n(n^2+5)/6