Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1)

(1)求实数a,b的值
(2)若x∈[1,2]时，不等式f(x)≥mx^2-x-2恒成立，求实数m的取值范围

过程 谢谢 ！！！

Answer 1

f(x)=x^3+ax^2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1)
则P在函数上，且-1的导数值为4
a-b+1=1
b-2a=1
得a=-1，b=-1，f（x）=x^3-x^2-x+2

x^3-x^2-x+2≥mx^2-x-2
g(x)=x^3-(1+m)x^2+4≥0
g'(x)=3x^2-2（1+m）x
2（1+m）/3>=2或〈=0,m>=2或<=-1
g(1)>=0,4-m>=0,m<=4
g(2)>=0,8-4m>=0,m<=2

得m=2或m<=-1

Answer 2

f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(-1)=0
3-2a+b=0(1)
f(-1)=1
1+a-b+2=1(2)
(1)(2)解得
4-a=-1
a=5
b=7
(2)f'(x)=3x^2+10x+7
f'(1)>0
f'(2)>0
所以函数为增函数
fmin=f(1)=1+5+7+2=15
即15>=mx^2-x-2恒成立
m(x^2-x/m+1/(4m^2))<=17+1/(4m)
(x-1/(2m))^2<=17/m+1/(4m^2)
-√[17/m+1/(4m^2)]+1/(2m)<=x<=√[17/m+1/(4m^2)]+1/(2m)
即1<-√[17m+1/(4m^2)]+1/(2m)<2
且1<√[17m+1/(4m^2)]+1/(2m)<2
解一下就行了

Answer 3

将p代入f(x)中，再求导。

Answer 4

(1)切点在曲线上∴－1＋a－b＋2＝1 ①
切线斜率为4∴f'(－1)= 3－2a＋b＝4 ②
由①②得a＝－1 b＝－1
(2 由(1)得 f(x)＝X³－X²－X＋2 f'(x)=3X²－2X－1
f(x)≥mx²-x-2 恒成立 ,即 M≤4／X² ＋X－1
因为4／X² ＋X－1＝4／X² ＋X／2＋X／2－1≥3 ³√4／X² ·X／2·X／2 －1＝2
当且仅当4／X² ＝X／2即X＝2时等号成立 故M≤2 （ 那个根号我打不上是3次跟下4／X² ·X／2·X／2 ）