Question

设A为n阶方阵，满足AA^T=E，且|A|=-1,证明|E+A|=0

求答案，真心求答案，不会做，

Answer 1

A显然是正交矩阵，因此特征值只能有1或-1

又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的话，所有特征值都是1，其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1）

从而A+E必有特征值-1+1=0

则|A+E|=0

或：

|A+E|=|A+AA'|=|A(E+A')|=|A||E+A'|=-|E+A'|=-|A+E|，则|A+E|=0

-|E+A'|=-|A+E|：矩阵的转置的行列式与此矩阵的行列式相等（行列式的性质）

扩展资料：

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

参考资料来源：百度百科-特征值

Answer 2

A显然是正交矩阵，因此特征值只能有1或-1
又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的话，所有特征值都是1，其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1）
从而A+E必有特征值-1+1=0
则|A+E|=0

Answer 3

|A+E|=|A+AA'|=|A(E+A')|=|A||E+A'|=-|E+A'|=-|A+E|，则|A+E|=0.

-|E+A'|=-|A+E|：矩阵的转置的行列式与此矩阵的行列式相等（行列式的性质）