Question

高数证明题，帮忙写一下这两道题的步骤，万分感谢？

Answer 1

178、根据题意，先解微分方程：y'+2xy=0
y'/y=-2x
(ln|y|)'=(-x^2)'
ln|y|=-x^2+C，其中C是任意常数
y=±e^C*e^(-x^2)，令D=±e^C，则D是任意常数
y*e^(x^2)=D
所以我们令F(x)=f(x)*e^(x^2)
因为F(a)=F(b)=0

所以根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得F'(ξ)=0
f'(ξ)*e^(ξ^2)+f(ξ)*e^(ξ^2)*2ξ=0
f'(ξ)+2ξ*f(ξ)=0
证毕
179、令f(t)=lnt，(2<=t<=x+1)

因为f(t)在[2,x+1]上连续可导，则根据拉格朗日中值定理
存在ξ∈(2,x+1)，使得f'(ξ)=[f(x+1)-f(2)]/(x+1-2)=[ln(x+1)-ln2]/(x-1)
1/ξ=ln[(x+1)/2]/(x-1)
(x-1)/ξ=ln[(x+1)/2]
所以(x-1)/(x+1)<ln[(x+1)/2]<(x-1)/2

Answer 2

178、考察函数 F(x)＝f(x) * e^(x²)，
它在 [a，b] 上连续，在 (a，b) 内可导，
且 F(a)＝F(b)＝0，
因此存在 ξ∈(a，b) 使 F'(ξ)＝0，
即 [ f'(ξ)＋2ξf(ξ) ] * e^(ξ²)＝0，
所以。。。。。。。。

追问

为什么考察函数是这个

追答

当然是根据待证等式的结构特点。