神经网络BP模型

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一、BP模型概述

误差逆传播(Error Back-Propagation)神经网络模型简称为BP(Back-Propagation)网络模型。

Pall Werbas博士于1974年在他的博士论文中提出了误差逆传播学习算法。完整提出并被广泛接受误差逆传播学习算法的是以Rumelhart和McCelland为首的科学家小组。他们在1986年出版“Parallel Distributed Processing,Explorations in the Microstructure of Cognition”(《并行分布信息处理》)一书中,对误差逆传播学习算法进行了详尽的分析与介绍,并对这一算法的潜在能力进行了深入探讨。

BP网络是一种具有3层或3层以上的阶层型神经网络。上、下层之间各神经元实现全连接,即下层的每一个神经元与上层的每一个神经元都实现权连接,而每一层各神经元之间无连接。网络按有教师示教的方式进行学习,当一对学习模式提供给网络后,神经元的激活值从输入层经各隐含层向输出层传播,在输出层的各神经元获得网络的输入响应。在这之后,按减小期望输出与实际输出的误差的方向,从输入层经各隐含层逐层修正各连接权,最后回到输入层,故得名“误差逆传播学习算法”。随着这种误差逆传播修正的不断进行,网络对输入模式响应的正确率也不断提高。

BP网络主要应用于以下几个方面:

1)函数逼近:用输入模式与相应的期望输出模式学习一个网络逼近一个函数;

2)模式识别:用一个特定的期望输出模式将它与输入模式联系起来;

3)分类:把输入模式以所定义的合适方式进行分类;

4)数据压缩:减少输出矢量的维数以便于传输或存储。

人工神经网络的实际应用中,80%~90%的人工神经网络模型采用BP网络或它的变化形式,它也是前向网络的核心部分,体现了人工神经网络最精华的部分。

二、BP模型原理

下面以三层BP网络为例,说明学习和应用的原理。

1.数据定义

P对学习模式(xp,dp),p=1,2,…,P;

输入模式矩阵X[N][P]=(x1,x2,…,xP);

目标模式矩阵d[M][P]=(d1,d2,…,dP)。

三层BP网络结构

输入层神经元节点数S0=N,i=1,2,…,S0;

隐含层神经元节点数S1,j=1,2,…,S1;

神经元激活函数f1[S1];

权值矩阵W1[S1][S0];

偏差向量b1[S1]。

输出层神经元节点数S2=M,k=1,2,…,S2;

神经元激活函数f2[S2];

权值矩阵W2[S2][S1];

偏差向量b2[S2]。

学习参数

目标误差ϵ;

初始权更新值Δ0

最大权更新值Δmax

权更新值增大倍数η+

权更新值减小倍数η-

2.误差函数定义

对第p个输入模式的误差的计算公式为

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y2kp为BP网的计算输出。

3.BP网络学习公式推导

BP网络学习公式推导的指导思想是,对网络的权值W、偏差b修正,使误差函数沿负梯度方向下降,直到网络输出误差精度达到目标精度要求,学习结束。

各层输出计算公式

输入层

y0i=xi,i=1,2,…,S0;

隐含层

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y1j=f1(z1j),

j=1,2,…,S1;

输出层

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y2k=f2(z2k),

k=1,2,…,S2。

输出节点的误差公式

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对输出层节点的梯度公式推导

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E是多个y2m的函数,但只有一个y2k与wkj有关,各y2m间相互独立。

其中

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设输出层节点误差为

δ2k=(dk-y2k)·f2′(z2k),

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同理可得

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对隐含层节点的梯度公式推导

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E是多个y2k的函数,针对某一个w1ji,对应一个y1j,它与所有的y2k有关。因此,上式只存在对k的求和,其中

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设隐含层节点误差为

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同理可得

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4.采用弹性BP算法(RPROP)计算权值W、偏差b的修正值ΔW,Δb

1993年德国 Martin Riedmiller和Heinrich Braun 在他们的论文“A Direct Adaptive Method for Faster Backpropagation Learning:The RPROP Algorithm”中,提出Resilient Backpropagation算法——弹性BP算法(RPROP)。这种方法试图消除梯度的大小对权步的有害影响,因此,只有梯度的符号被认为表示权更新的方向。

权改变的大小仅仅由权专门的“更新值”

确定

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其中

表示在模式集的所有模式(批学习)上求和的梯度信息,(t)表示t时刻或第t次学习。

权更新遵循规则:如果导数是正(增加误差),这个权由它的更新值减少。如果导数是负,更新值增加。

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RPROP算法是根据局部梯度信息实现权步的直接修改。对于每个权,我们引入它的

各自的更新值

,它独自确定权更新值的大小。这是基于符号相关的自适应过程,它基

于在误差函数E上的局部梯度信息,按照以下的学习规则更新

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其中0<η-<1<η+

在每个时刻,如果目标函数的梯度改变它的符号,它表示最后的更新太大,更新值

应由权更新值减小倍数因子η-得到减少;如果目标函数的梯度保持它的符号,更新值应由权更新值增大倍数因子η+得到增大。

为了减少自由地可调参数的数目,增大倍数因子η+和减小倍数因子η被设置到固定值

η+=1.2,

η-=0.5,

这两个值在大量的实践中得到了很好的效果。

RPROP算法采用了两个参数:初始权更新值Δ0和最大权更新值Δmax

当学习开始时,所有的更新值被设置为初始值Δ0,因为它直接确定了前面权步的大小,它应该按照权自身的初值进行选择,例如,Δ0=0.1(默认设置)。

为了使权不至于变得太大,设置最大权更新值限制Δmax,默认上界设置为

Δmax=50.0。

在很多实验中,发现通过设置最大权更新值Δmax到相当小的值,例如

Δmax=1.0。

我们可能达到误差减小的平滑性能。

5.计算修正权值W、偏差b

第t次学习,权值W、偏差b的的修正公式

W(t)=W(t-1)+ΔW(t)

b(t)=b(t-1)+Δb(t)

其中,t为学习次数。

6.BP网络学习成功结束条件每次学习累积误差平方和

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每次学习平均误差

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当平均误差MSE<ε,BP网络学习成功结束。

7.BP网络应用预测

在应用BP网络时,提供网络输入给输入层,应用给定的BP网络及BP网络学习得到的权值W、偏差b,网络输入经过从输入层经各隐含层向输出层的“顺传播”过程,计算出BP网的预测输出。

8.神经元激活函数f

线性函数

f(x)=x,

f′(x)=1,

f(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围(-∞,+∞)。

一般用于输出层,可使网络输出任何值。

S型函数S(x)

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f(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围(0,1)。

f′(x)=f(x)[1-f(x)],

f′(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围(0,

]。

一般用于隐含层,可使范围(-∞,+∞)的输入,变成(0,1)的网络输出,对较大的输入,放大系数较小;而对较小的输入,放大系数较大,所以可用来处理和逼近非线性的输入/输出关系。

在用于模式识别时,可用于输出层,产生逼近于0或1的二值输出。

双曲正切S型函数

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f(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围(-1,1)。

f′(x)=1-f(x)·f(x),

f′(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围(0,1]。

一般用于隐含层,可使范围(-∞,+∞)的输入,变成(-1,1)的网络输出,对较大的输入,放大系数较小;而对较小的输入,放大系数较大,所以可用来处理和逼近非线性的输入/输出关系。

阶梯函数

类型1

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f(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围{0,1}。

f′(x)=0。

类型2

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f(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围{-1,1}。

f′(x)=0。

斜坡函数

类型1

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f(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围[0,1]。

中国矿产资源评价新技术与评价新模型

f′(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围{0,1}。

类型2

中国矿产资源评价新技术与评价新模型

f(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围[-1,1]。

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f′(x)的输入范围(-∞,+∞),输出范围{0,1}。

三、总体算法

1.三层BP网络(含输入层,隐含层,输出层)权值W、偏差b初始化总体算法

(1)输入参数X[N][P],S0,S1,f1[S1],S2,f2[S2];

(2)计算输入模式X[N][P]各个变量的最大值,最小值矩阵 Xmax[N],Xmin[N];

(3)隐含层的权值W1,偏差b1初始化。

情形1:隐含层激活函数f( )都是双曲正切S型函数

1)计算输入模式X[N][P]的每个变量的范围向量Xrng[N];

2)计算输入模式X的每个变量的范围均值向量Xmid[N];

3)计算W,b的幅度因子Wmag

4)产生[-1,1]之间均匀分布的S0×1维随机数矩阵Rand[S1];

5)产生均值为0,方差为1的正态分布的S1×S0维随机数矩阵Randnr[S1][S0],随机数范围大致在[-1,1];

6)计算W[S1][S0],b[S1];

7)计算隐含层的初始化权值W1[S1][S0];

8)计算隐含层的初始化偏差b1[S1];

9))输出W1[S1][S0],b1[S1]。

情形2:隐含层激活函数f( )都是S型函数

1)计算输入模式X[N][P]的每个变量的范围向量Xrng[N];

2)计算输入模式X的每个变量的范围均值向量Xmid[N];

3)计算W,b的幅度因子Wmag;

4)产生[-1,1]之间均匀分布的S0×1维随机数矩阵Rand[S1];

5)产生均值为0,方差为1的正态分布的S1×S0维随机数矩阵Randnr[S1][S0],随机数范围大致在[-1,1];

6)计算W[S1][S0],b[S1];

7)计算隐含层的初始化权值W1[S1][S0];

8)计算隐含层的初始化偏差b1[S1];

9)输出W1[S1][S0],b1[S1]。

情形3:隐含层激活函数f( )为其他函数的情形

1)计算输入模式X[N][P]的每个变量的范围向量Xrng[N];

2)计算输入模式X的每个变量的范围均值向量Xmid[N];

3)计算W,b的幅度因子Wmag

4)产生[-1,1]之间均匀分布的S0×1维随机数矩阵Rand[S1];

5)产生均值为0,方差为1的正态分布的S1×S0维随机数矩阵Randnr[S1][S0],随机数范围大致在[-1,1];

6)计算W[S1][S0],b[S1];

7)计算隐含层的初始化权值W1[S1][S0];

8)计算隐含层的初始化偏差b1[S1];

9)输出W1[S1][S0],b1[S1]。

(4)输出层的权值W2,偏差b2初始化

1)产生[-1,1]之间均匀分布的S2×S1维随机数矩阵W2[S2][S1];

2)产生[-1,1]之间均匀分布的S2×1维随机数矩阵b2[S2];

3)输出W2[S2][S1],b2[S2]。

2.应用弹性BP算法(RPROP)学习三层BP网络(含输入层,隐含层,输出层)权值W、偏差b总体算法

函数:Train3BP_RPROP(S0,X,P,S1,W1,b1,f1,S2,W2,b2,f2,d,TP)

(1)输入参数

P对模式(xp,dp),p=1,2,…,P;

三层BP网络结构;

学习参数。

(2)学习初始化

1)

2)各层W,b的梯度值

初始化为零矩阵。

(3)由输入模式X求第一次学习各层输出y0,y1,y2及第一次学习平均误差MSE

(4)进入学习循环

epoch=1

(5)判断每次学习误差是否达到目标误差要求

如果MSE<ϵ,

则,跳出epoch循环,

转到(12)。

(6)保存第epoch-1次学习产生的各层W,b的梯度值

(7)求第epoch次学习各层W,b的梯度值

1)求各层误差反向传播值δ;

2)求第p次各层W,b的梯度值

3)求p=1,2,…,P次模式产生的W,b的梯度值

的累加。

(8)如果epoch=1,则将第epoch-1次学习的各层W,b的梯度值

设为第epoch次学习产生的各层W,b的梯度值

(9)求各层W,b的更新

1)求权更新值Δij更新;

2)求W,b的权更新值

3)求第epoch次学习修正后的各层W,b。

(10)用修正后各层W、b,由X求第epoch次学习各层输出y0,y1,y2及第epoch次学习误差MSE

(11)epoch=epoch+1,

如果epoch≤MAX_EPOCH,转到(5);

否则,转到(12)。

(12)输出处理

1)如果MSE<ε,

则学习达到目标误差要求,输出W1,b1,W2,b2

2)如果MSE≥ε,

则学习没有达到目标误差要求,再次学习。

(13)结束

3.三层BP网络(含输入层,隐含层,输出层)预测总体算法

首先应用Train3lBP_RPROP( )学习三层BP网络(含输入层,隐含层,输出层)权值W、偏差b,然后应用三层BP网络(含输入层,隐含层,输出层)预测。

函数:Simu3lBP( )。

1)输入参数:

P个需预测的输入数据向量xp,p=1,2,…,P;

三层BP网络结构;

学习得到的各层权值W、偏差b。

2)计算P个需预测的输入数据向量xp(p=1,2,…,P)的网络输出 y2[S2][P],输出预测结果y2[S2][P]。

四、总体算法流程图

BP网络总体算法流程图见附图2。

五、数据流图

BP网数据流图见附图1。

六、实例

实例一 全国铜矿化探异常数据BP 模型分类

1.全国铜矿化探异常数据准备

在全国铜矿化探数据上用稳健统计学方法选取铜异常下限值33.1,生成全国铜矿化探异常数据。

2.模型数据准备

根据全国铜矿化探异常数据,选取7类33个矿点的化探数据作为模型数据。这7类分别是岩浆岩型铜矿、斑岩型铜矿、矽卡岩型、海相火山型铜矿、陆相火山型铜矿、受变质型铜矿、海相沉积型铜矿,另添加了一类没有铜异常的模型(表8-1)。

3.测试数据准备

全国化探数据作为测试数据集。

4.BP网络结构

隐层数2,输入层到输出层向量维数分别为14,9、5、1。学习率设置为0.9,系统误差1e-5。没有动量项。

表8-1 模型数据表

续表

5.计算结果图

如图8-2、图8-3。

图8-2

图8-3 全国铜矿矿床类型BP模型分类示意图

实例二 全国金矿矿石量品位数据BP 模型分类

1.模型数据准备

根据全国金矿储量品位数据,选取4类34个矿床数据作为模型数据,这4类分别是绿岩型金矿、与中酸性浸入岩有关的热液型金矿、微细浸染型型金矿、火山热液型金矿(表8-2)。

2.测试数据准备

模型样本点和部分金矿点金属量、矿石量、品位数据作为测试数据集。

3.BP网络结构

输入层为三维,隐层1层,隐层为三维,输出层为四维,学习率设置为0.8,系统误差1e-4,迭代次数5000。

表8-2 模型数据

4.计算结果

结果见表8-3、8-4。

表8-3 训练学习结果

表8-4 预测结果(部分)

续表

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