Question

急求一道数学题！在线等！拜托了！

在△ABC中,AD是BC边上中线,E、F分别为AB,AC上的点,且AE=AF,连结EF交AD于M。
求证：EM比MF=AC比AB
注：需要过程！拜托了！谢谢

Answer 1

和下面这个题目实际是一样的：

1、三角形ABC中,AD为中线,P为AD上任意一点,过p的直线交AB于M.交ac于N,若AN=AM，求证PM/PN=AC/AB 

证明：过P点作BC的平行线交AB,AC分别于M',N'点；再分别过M,M'两点分别作AC的平行线分别交AD(或延长线）于P',A'两点。

由M'N'平行BC得：AC/AN'=AB/AM',即AC/AB=AN'/AM'.且M'P=N'P

由三角形AN'P全等三角形A'M'P得：M'A'=AN'.所以，AC/AB=A'M'/AM'

由三角形AM'A'相似三角形AMP'得：AM/AM'=MP'/A'M',即A'M'/AM'=MP'/AM

所以：AC/AB=MP'/AM

由三角形MP'P相似三角形ANP得：MP'/AN=MP/PN

而AN=AM

所以：MP'/AM=MP/PN

所以：AC/AB=MP/PN 

 1题图

Answer 2

方法一：
延长AD到点P，使DP=AD。连接BP，作EQ ‖BP，交AP 于点Q
易得△BDP≌△CDA
∴AC=BP，BP‖AC‖EQ
∴AC /AB=BP/AB =EQ/AE
∵AE=AF
∴AC/BC=EQ /AF=EM/MF
方法二：
分别过E、F作BC平行线分别交AD于P、Q
则EP//BD,FQ//CD,EP//FQ
EP//BD,故EP/BD=AE/AB
FQ//CD,故FQ/CD=AF/AC
BD=CD,AE=AF,将上两式相比
EP/FQ=AC/AB
EP//FQ
EP/FQ=EM/MF
故EM/MF=AC/AB

Answer 3

楼上也可以，另外
分别过E、F作BC平行线分别交AD于P、Q
则EP//BD,FQ//CD,EP//FQ
EP//BD,故EP/BD=AE/AB
FQ//CD,故FQ/CD=AF/AC
BD=CD,AE=AF,将上两式相比
EP/FQ=AC/AB
EP//FQ
EP/FQ=EM/MF
故EM/MF=AC/AB

Answer 4

延长AD到点P，使DP=AD。连接BP，作EQ ‖BP，交AP 于点Q
易得△BDP≌△CDA
∴AC=BP，BP‖AC‖EQ
∴AC /AB=BP/AB =EQ/AE
∵AE=AF
∴AC/BC=EQ /AF=EM/MF

Answer 5

过M分别做MH⊥AB交于H、MG⊥AC交于G，
∵ AE=AF ，
∴ ∠MEH=∠MFG ，又∠MHE=∠MGF=Rt∠ ，
∴ Rt△MHE∽Rt△MGF ，
∴ ME/MF=MH/MG ，

∵ D是BC中点，
∴ S△ABD=S△ACD ，S△MBD=S△MCD ，
∴ S△ABM=S△ACM ，
∴ AB×MH=AC×MG ，
∴ MH/MG=AC/AB ，
∵ ME/MF=MH/MG ，
∴ ME/MF=AC/AB 。