Question

在三角形ABC中,点D在AB上,ACB=90度,AB=9,CD=4,角BDC=2角BCD，求AC。

Answer 1

设∠BCD=a,则∠BDC=2a,∠B=180°-3a,
∠ACB=90°，
所以∠B为锐角，30°<a<60°，
BC=ABcosB=-9cos3a,
在△BCD中由正弦定理，BC/CD=sin∠BDC/sin∠B,
即-9cos3a/4=sin2a/sin3a=2cosa/[3-4(sina)^2],
设x=cosa属于(1/碰告渗2,√3/笑脊2),则
-9(4x^3-3x)/4=2x/(4x^2-1),
9(4x^2-3)(4x^2-1)=-8,
(4x^2-2)^2-1=-8/9,
(4x^2-2)^2=1/9,
4x^2-2=土1/3，
x^2=7/12或5/12，
x=√21/6或友前√15/6，
所以sina=√15/6或√21/6，
sin3a=2√15/9或√21/9，
所以AC=9sin3a=2√15或√21.