Question

二重积分求详解

Answer 1

二重积分，本质是求曲顶柱体体积。
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

Answer 2

曲线y=x^2将平面区域 x∈[0,1], y∈[0,1]分成两部分
当属于y=x^2上半部分D1时，y>x^2 ,下半部分D2时，y<x^2
所以，原积分=
∫∫D1 （y-x^2）dxdy+∫∫D2 （x^2-y）dxdy
=∫∫D1 ydxdy-∫∫D1 x^2dxdy+∫∫D2 x^2dxdy-∫∫D2 ydxdy
=∫(0,1)y x|(0,√y）dy -∫(0,1)x^2 y|(x^2,1)dx+∫(0,1)x^2 y|(0,x^2）dx-∫(0,1)y x|(√y,1)dy
=∫(0,1)y^(3/2) dy -∫(0,1)(x^4-x^2) dx+∫(0,1)x^4 dx-∫(0,1)(y^(3/2)-y) dy
=2/5+2/15+1/5-2/5+1/2
=5/6