Question

如图,已知三角形ABC内接于圆O,∠ACB=60°∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,

如图,已知三角形ABC内接于圆O,∠ACB=60°∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于D点连结BD
说明△BDE是等边三角
连结EC，DC，若AD恰好园O的直径，四边形BDCE是什么四边形？

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=60° ∴∠BAC+∠ABC=120°
又∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E
∴∠EAB+∠EBA=60°
∠BED=∠EAB+∠EBA=60°（三角形外角）
∠BDE=∠ACB=60°（同弧所对的圆周角相等）
所以△BDE是等边三角（有两个角是60°的三角形是等边三角形）
（2）如果AD是直径
四边形BDCE是菱形
AD平分∠BAC
∠DAB=∠DAC
∴BD=DC（在同圆中相等的圆周角岁的弦相等）
EB=EC
所以BD=DC=CE=EB
所以四边形BDCE是菱形

Answer 2

证明：
∵AE，BE是角平分线
∴∠CBD=∠CBE，∠BAD=∠CAD
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠CBD=∠CAD
∴∠DBE=∠DEB
∴DB=DE
∵∠BDE=∠ACB=60°
∴△BDE是等边三角形

∵AD是直径，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC
∴EB=EC，BD=DC
∵BD=BE（已证）
所以四边形BDCE是菱形