Question

如图.已知M是正方形ABCD的边AB上的中点，MN⊥DM，与∠ABC外角的平分线交于N。求证：MD=MN

Answer 1

证明:取AD边中点E,连接ME

     ∵AM=AE  ∠A=90°

    ∴△AME是等腰直角三角形

    ∴∠AEM=45°

    ∴∠DEM=135°

    在△DME和△BMN中

      ∠DEM=∠MBN=135°

       DE=MB

          ∵MN⊥DM

          ∴∠DMN=90°

      ∴∠BMN+∠AMD=90°

               ∠ADM=90-∠AMD=∠BMN

           ∴△DME≌△BMN

            ∴MD=MN

Answer 2

延长MN交DC延长线于E，延长BN交DC延长线于F。
证明：因为三角开AMD与三角形MDE相似，则对应边成比例，设正方形边长为2a，则ME等于2倍根号5a，DE等于5a，则ME等于2倍MD。
连接DB，则CB为对称轴，所以AF等于2倍AC=4a，则FC=DE-DC=5a-4a=a，
所以三角开MND与三角形FDE全等（AAS），所以MN=NE，所以MN=2倍根号5
所以MN=MD