Question

不定积分如果存在间断点是否还存在原函数

Answer 1

这句话应该反过来说,应该是: 在某个区间上可导的函数,其导函数在该区间上没有第一类间断点. 可以通过拉格朗日中值定理证明上述定理(又叫做导函数连续定理): 若f(x)在x0的某个邻域U(x0;δ)内连续,在该去心邻域U°(x0;δ)上可导,且lim(x→x0)f'(x)存在,则f(x)在x0处也可导,并有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x) 而第一类间断点的定义是函数在某点左右极限都存在,但不等於该点函数值. 显然,如果导函数在某点左右极限存在且相等,那麼导函数在该点连续,该点就不可能是可去间断点. 而如果导函数在某点左右极限存在却不等,那麼导函数的左极限就是原函数的左导数,导函数的右极限就是原函数的右导数.左右极限不等意味著左右导数不等,所以原函数在该点不可导,或者说导函数在该点无定义.因此该点不会是跳跃间断点(第一类间断点的定义里强调了该点必须要有函数值,既然在该点无定义,即使左右极限不等,它也不是跳跃间断点). 综上,在某个区间上可导的函数,其导函数在该区间上没有第一类间断点成立.