Question

如图，直角梯形ABCD中，AB=7，∠B=90°，BC-AD=1，以CD为直径的圆与AB相交于两点E,F，且AE=1，在线段AB上

如图，直角梯形ABCD中，AB=7，∠B=90°，BC-AD=1，以CD为直径的圆与AB相交于两点E,F，且AE=1，在线段AB上是否存在点P，使以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由;若存在这样的点有几个？并计算AP的长度。

Answer 1

亲爱的， pan23336 ，

你好，时间关系，刚刚看到你的题目，下边是我的建议，希望对你有所帮助。

设AD=x，则BC=x+1， 根据勾股定理，
AD^2+AE ^2=DE^2 即 x^2 +1=DE^2
BE^2 +BC^2 =CE^2 即6^2+（x+1）^2=CE^2
又CE^2 +DE^2 =CD^2 =7^2+1^2=50
即 x^2 +1+[6^2+（x+1）^2]=50
解得 x=2 即AD=2，BC=3

第一种情况：∠APD+∠BPC=90
只有∠DPC=90度 时，∠APD+∠BPC=90，三角形PAD相似于PBC
根据圆的特性，CD为直径，所以这样的点都在圆弧上，即点E，F
设AF=y, 则根据AD^2+AF^2 + BF^2+BC^2=CD^2
4+y^2+(7-y)^2+9=50
得到y=1 或者 y=6
即 AP=1，或者AP=6

第二种情况：∠APD=∠BPC时，三角形PAD相似于PBC
假设存在这样的点P，使得：∠APD=∠BPC时，三角形PAD相似于PBC，则
AP/BP=AD/BC=2/3 又因为 AP+BP=AB=7
所以AP=7*2/5=14/5

综合以上，可以看出，这样的点有3个，AP的长度分别为 1，6，14/5

总结： 此类题目一定要考虑全面，第一种情况大多可以考虑到，但关键的第2种情况也要能想到。学习数学，一定要思维缜密。切记。 没少花我时间， 采纳吧！！

Answer 2

图呢