Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2)^x+b/2^(x+2)是奇函数 ①求b的值 ②判断函数f(x)的单调性

①求b的值
②判断函数f(x)的单调性
③若任意的t∈R，不等式f(t^-2t)+f(2t^2-k)＜0恒成立，求k的取值范围
一定要详细的过程 和答案啊~~！！！

谢了~~~

Answer 1

b的值很好求 给x一个实数值比如1，或0啊 就求出来了 求出b的值在计算单调性

Answer 2

f（x）为奇函数，所以f（x）=0
带入原式算出b=1

f（x）=(-2^x+1)/(2X2^x+2)
=-1/2乘以[1-2/(2^x+1)]
然后用用定义去求解单调性
设x1<x2.则f(x1)-f(x2)=-1/2乘以[1-2/(2^x1+1)]-(-1/2)乘以[1-2/(2^x2+1)]
=1/2乘以[2/(2^x1+1)-2/(2^x2+1)]
=1/(2^x1+1)-1/(2^x2+1)
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)x(2^x2+1)]
因为x1<x2,所以2^x2-2^x1>0,所以f(x1)-f(x2）>0
所以此函数是单调递减的。

f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价为 f(t^2-2t)<-f(2t^2-k) 因为函数是奇函数，所以
-f(2t^2-k)=f(-2t^2+k)，得到：f(t^2-2t)<f(-2t^2+k)
由1知函数是单调递减的，所以(t^2-2t)>(-2t^2+k)
整理得：k<3t^2-2t t∈R
然后求 3t^2-2t 在 t∈R的最小值，为-1/3.(二次函数求最小值，相信你会的)
综上所述：k的范围是k<-1/3.