Question

设β1，β2，β3是n元非齐次线性方程组AX=b的3个线性无关的解，且矩阵A的秩是n-2，

Answer 1

(1)因为r(A)=n-2所以AX=0的基础解系含n-r(A)=2个向量，又因为β1，β2，β3为AX=b的3个线性无关的解，所以β1−β2，β1-β3 是AX=0的线性无关的解，所以β1−β2，β1-β3 是AX=0的基础解系
(2)由题有A β1=b，Aβ2=b，Aβ3 =b，所以A(β1+β2)=2b，A(β2+β3 )=2b，又因为a1(β1+β2)+a2(β2+β3 )=a1β1+(a1+a2)β2+a2β3 且β1，β2，β3 线性无关，所以a1(β1+β2)+a2(β2+β3 )=0当且仅当β1，β2，β3 均等于0时成立，所以β1+β2与 β2+β3线性无关，所以方程组AX=2b的一般解为k1 (β1+β2)+k2(β2+β3)+ β1