Question

设椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e=√2/2，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两距

椭圆C上有一动点P（x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1（x1,y1)，求3x1-4y1的取值范围

Answer 1

1.求椭圆C的方程。
2.椭圆C上一动点P(X0,Y0)关于直线y=2x的对称点P1(X1,Y1),求3X1-4Y1的取值范围

A到两焦点的距离之和为4,即2a=4,a=2
e=c/a=√2/2,则c=根号2
c^2=a^2-b^2
2=4-b^2,b^2=2
即方程是:x^2/4+y^2/2=1.

因为点P1与点P关于直线y=2x对称，有
（yo+y1）/2=2*（xo+x1）/2 ①
（yo-y1）/（xo-x1）=-0.5 ②
整理得 x1= （4yo-3xo）/5 y1=(4x0+3y0)/5
代入3x1-4y1=-5x0
又点A在椭圆上，所以-2≤xo≤2，所以-10≤xo≤10
所以取值范围为[-10,10]

以下仅供参考：

A在椭圆上
可设x0=2cosθ，y0=根号2*sinθ
A(2cosθ,根号2*sinθ)
过A做垂直直线2x-y=0的直线L
所以直线L斜率=-1/2
所以直线L y-根号2*sinθ=-1/2(x-2cosθ)
该直线与2x-y=0的交点M
M(2/5(根号2*sinθ+cosθ),4/5(根号2*sinθ+cosθ))
所以A关于M的对称点P
x1=(4根号2*sinθ-6cosθ)/5
y1=(3倍根号2sinθ+8cosθ)/5
所以3x1-4y1=10cosθ
所以 -10≤3x1-4y1≤10