Question

求数学大神导数那道题

Answer 1

g(x)=lnx-½ax²+x-ax x>0
g'(x)=1/x-ax+1-a=[-ax²+(1-a)x+1]/x
g'(x)=0→x=[a-1±|a+1|]/2→x=a x=-1(肯定不在定义域内，舍去）
a≤0时 x=a不在定义域内 g(x)单调递增
a>0时 驻点：x=a 左+右- 为极大值点
②f(x)=lnx+½x²+x
f'(x)=1/x+x+1>0,f(x)单调递增
f(½)<0 f(¾)>0→f(x)有且有一个零点 零点x₀∈(½,¾)
设x₁<x₂,则0<x₁<x₀<x₂
令x₁=x₀-a 0<a<x₀
f(x₀-a)+f(x₀+a)=ln(x₀²-a²)+(x₀²+a²)+2x₀
=ln(x₀²-a²)+(x₀²+a²)+2x₀-ln(x₀²)-x₀²-2x₀ (ln(x₀)+½x₀²+x₀=0→2ln(x₀)+x₀²+2x₀=0)
=ln(x₀²-a²)-ln(x₀²)+a²
令g(a)=ln(x₀²-a²)-ln(x₀²)+a² 0<a<x₀<1
g'(a)=-2a/(x₀²-a²)+2a<0→g(a)单调递减→g(a)<g(0)=0
∴f(x₀-a)+f(x₀+a)<0<f(x₁)+f(x₂)=0
f(x₀+a)<f(x₂)
f(x)单调递增→x₀+a<x₂
∴x₁+x₂>x₀-a+x₀+a=2x₀>1>√3-1