Question

一道数列题目 高中数学

设数列｛an｝的各项都是正数，且对任意n属于N+，都有an(an+1)=2(a1+a3+....+an).
1，求数列｛an｝的通项公式
2，设bn=3^n+(-1)^(n-1) * 入 * 2an（入为非0整数，n属于N+）试确定入的值，使得对任意n属于N+，都有bn+1>bn成立
第二个问，说明一下
第一个是3的n次方，第二个是-1的n-1次方，乘以入，再乘以2an

打错了！！！！
是a1+a2+a3+...+an
不是a1+a3。。。。

还有，最后那个bn+1是在下面的，是b(n+1)

Answer 1

1.解：a[1]=1，a[2]=2，a[3]=3
猜测a[n]=n
当n=1时，a[n]=a[1]=1
假设当n=k-1(k≥2)时成立，即a[k-1]=k-1
则2a[k]=2S[k]-2S[k-1]=a[k](a[k]+1)-a[k-1](a[k-1]+1)=a²[k]+a[k]-a²[k-1]-a[k-1]
即a²[k]-a[k]=a²[k-1]+a[k-1]=(k-1)²+(k-1)=(k-1)(k-1+1)=k(k-1)=k²-k
∴a²[k]-a[k]+1/4=k²-k+1/4，即(a[k]-1/2)²=(k-1/2)²
∴a[k]=1/2±(k-1/2)
即a[k]=k或者a[k]=1-k
∵k≥2，则1-k<0
又∵{an}的各项都是正数，∴a[k]=k
即当n=k时成立，猜想成立
即数列{an}的通项公式为：a[n]=n

2.解：
b[n+1]-b[n]=3^(n+1)+(-1)^n*λ*2a[n+1]-3^n-(-1)^(n-1)*λ*2a[n]
=3*3^n+(-1)^n*λ*2(n+1)-3^n+(-1)^n*λ*2n
=2*3^n+(-1)^n*λ*(4n+2)>0
∴(-1)^(n-1)*λ<2*3^n/(4n+2)=3^n/(2n+1)
∵3^n/(2n+1)是增数列，∴最小值为n=1时3/(2+1)=1，n=2时3²/(2*2+1)=9/5
∴-9/5<λ<1
又∵λ为非0整数
∴λ=-1

Answer 2

1.
a[n]*(a[n]+1) = 2S[n]
a[n]*(a[n]+1) - a[n-1]*(a[n-1]+1) = 2a[n]
( a[n]+a[n-1] )*( a[n]-a[n-1]-1 ) = 0
{a[n]}各项为正数, a[n]+a[n-1] ≠ 0
a[n]-a[n-1] = 1 = d,等差数列
a[1] * (a[1]+1) = 2S[1] = 2a[1] ==> a[1] = 1
a[n] = a[1] + (n-1)*d = n.
2.
b[n+1]-b[n] = ( 3^(n+1)-3^n ) + (-1)^(n-1)*λ*2( (-1)*(n+1)-n )
= 2*3^n - 2λ*(-1)^(n-1)*(2n+1) > 0
λ*(-1)^(n-1) < 3^n/(2n+1)
①当n为奇数
λ < 3^n/(2n+1)
min{3^n/(2n+1)} = 1,n取1时 //min为最小值
λ < 1
②当n为偶数
λ > -3^n/(2n+1)
max{-3^n/(2n+1)} = -9/5,n取2时 //max为最大值
λ > -9/5
综合①②: -9/5 <λ< 1
又 λ为非0整数,所以 λ = -1。

Answer 3

1、an(an+1)=2Sn
a(n-1) (a(n-1)+1）＝2S(n-1)
相减 an(an+1)-a(n-1)(a(n-1)+1)=2an
an(an-1)=a(n-1)(a(n-1)+1)
an^2-a(n-1)^2=a(n-1)+an
an-a(n-1)=1
原式令n=1
a1(a1+1)=2a1
a1=1
所以an=n
2、bn=3^n+(-1)^(n-1) * 2n *入
bn+1=3^(n+1)+(-1)^n *(2n+2)*入
b(n+1)-bn=2*3^n +(-1)^n *(2n+2)* 入-(-1)^(n-1)*2n*入
=2*3^n-(-1)^(n-1)(4n+2) *入
当入>0时
n为偶数时一定成立
当n是奇数时
2*3^n-(4n+2)*入>0
入<2*3^n/(4n+2)
当n=1时右边有最小值
入<1
当入<0时
n是奇数时一定成立
当n是偶数时
2*3^n＋(4n+2)*入>0
入>-2*3^n/(4n+2)
当n＝2时，右边有最大值
入>-9/5
因此入的范围为-9/5<入<0或0<入<1
入为整数
所以在这个范围内入＝－1

Answer 4

1、an(an+1)=2Sn..........(1)
a(n-1) (a(n-1)+1）＝2S(n-1).........(2)
(1)-(2),得
an(an+1)-a(n-1)(a(n-1)+1)=2an
an(an-1)=a(n-1)(a(n-1)+1)
an^2-a(n-1)^2=a(n-1)+an
an-a(n-1)=1
所以{an}是等差数列，公差为1，且n=1时，得首项a1=1
所以an=n
2、bn=3^n+(-1)^(n-1) * 2n *入
bn+1=3^(n+1)+(-1)^n *(2n+2)*入
b(n+1)-bn=2*3^n +(-1)^n *(2n+2)* 入-(-1)^(n-1)*2n*入
=2*3^n-(-1)^(n-1)(4n+2) *入
当入>0时
n为偶数时一定成立
当n是奇数时
2*3^n-(4n+2)*入>0
入<2*3^n/(4n+2)
当n=1时右边有最小值
入<1
当入<0时
n是奇数时一定成立
当n是偶数时
2*3^n＋(4n+2)*入>0
入>-2*3^n/(4n+2)
当n＝2时，右边有最大值
入>-9/5
因此入的范围为-9/5<入<0或0<入<1
入为整数
所以在这个范围内入＝－1

Answer 5

【一】（思路：计算，猜想，证明）由题设可知，an＞0,且an[(an)+1]=2(a1+a2+a3+...+an).(n=1,2,3,...),当n=1时，应有a1(a1+1)=2a1.===>a1=1,当n=2时，应有a2(a2+1)=2(1+a2).===>a2=2,当n=3时，应有a3(a3+1)=2(3+a3).===>a3=3.猜想an=n.(n=1,2,3,...)，则an(an+1)=n(n+1),又2(a1+a2+a3+,,,+an)=2(1+2+3+,,,+n)=n(n+1).∴an(an+1)=2(a1+a2+,,,+an).∴an=n满足题设，∴数列{an}的通项an=n,(n=1,2,3,...).【二】解：bn=(3^n)+(-1)^(n-1)×t×2n.(n=1,2,3,...),b(n+1)＞bn,即是[3^(n+1)]+(-1)^n×t×2(n+1)＞(3^n)+(-1)^(n-1)×t×2n.===>2×(3^n)+2×（-1)^n×t×(2n+1)＞0.===>(3^n)+(-1)^n×t×(2n+1)＞0.===>(3^n)/(2n+1)＞(-1)^(n+1)×t.对于数列cn=(3^n)/(2n+1),(n=1,2,3,...),易知，[c(n+1)]/cn=3(2n+1)/(2n+3)＞1.n=1,2,3,...===>c(n+1)＞cn.∴c1＜c2＜,,,＜cn.故t应满足c1=1＞t.∵t为整数，∴当t=-1时，恒有b(n+1)＞bn.

Answer 6

1、an(an+1)=2Sn
a(n-1) (a(n-1)+1）＝2S(n-1)
相减 an(an+1)-a(n-1)(a(n-1)+1)=2an
an(an-1)=a(n-1)(a(n-1)+1)
an^2-a(n-1)^2=a(n-1)+an
an-a(n-1)=1
原式令n=1
a1(a1+1)=2a1
a1=1
所以an=n
2、bn=3^n+(-1)^(n-1) * 2n *入
bn+1=3^(n+1)+(-1)^n *(2n+2)*入
b(n+1)-bn=2*3^n +(-1)^n *(2n+2)* 入-(-1)^(n-1)*2n*入
=2*3^n-(-1)^(n-1)(4n+2) *入
当入>0时
n为偶数时一定成立
当n是奇数时
2*3^n-(4n+2)*入>0
入<2*3^n/(4n+2)
当n=1时右边有最小值
入<1
当入<0时
n是奇数时一定成立
当n是偶数时
2*3^n＋(4n+2)*入>0
入>-2*3^n/(4n+2)
当n＝2时，右边有最大值
入>-9/5
因此入的范围为-9/5<入<0或0<入<1
入为整数
所以在这个范围内入＝－1
多谢楼主支持，谢谢采纳！！！