Question

已知fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0 f1=1,

Answer 1

^令g(x)=x^3*f(x)，则g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导

因为g(0)=0，g(1)=f(1)=0，所以根据罗尔定理

存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=0

3ξ^2*f(ξ)+ξ^3*f'(ξ)=0

3f(ξ)+ξf'(ξ)=0

证毕

例如：

令g(x)=xf(x),0<=x<=1.

那么g(0)=g(1)=0，g'(x)=xf'(x)+f(x).

则根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=ξf'(ξ)+f(ξ)=0，即f'(ξ)=-f(ξ)/ξ.

扩展资料：

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

参考资料来源：百度百科-罗尔中值定理

Answer 2

令：F(x)=x^2*f(x)
当x=0时，F(0)=0^2*f(0)=0
当x=1时，F(1)=1^2*f(1)=0
而且F(x)在[0,1]内连续，F(x)在(0,1)内可导
故根据Rolle中值定理得:
存在g∈(0,1),使得f'(g)=0
而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)
故有：2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)
即得：-2f(g)=g*f'(g)
故：f'(g)=-2f(g)/g