Question

n阶行列式展开式中影响正负号的逆序数问题

Answer 1

方法：递推法
记所求行列式为dn
最后一行拆分为：0
0
0
……1
和
ana1
ana2
ana3
……an^2
这样行列式变成两个行列式相加，前者按照最后一行展开为行列式d(n-1)，后者先从最后一行提取公因子an，再把最后一行分别乘以－a1，－a2，－a3，……，－a(n-1)加到第一行，第二行，第三行，……，第n-1行，化成一个n阶下三角行列式，对角线元素是1，1，1，……，1，an，所以结果是an^2
所以，dn＝d(n-1)＋an^2
又d1＝a+a1^2，d2＝a＋a1^2＋a2^2，所以
dn＝d(n-1)＋an^2＝d(n-1)＋a(n-1)^2＋an^2＝……＝d1＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2＝1＋a1^2＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2