Question

若a,b,c,为△ABC的三边，且a²+b²+c²=ab+bc+ca,请说明△ABC是等边

Answer 1

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+c^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立。
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c
所以是
等边三角形

Answer 2

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∵a²+b²+c²=ab+bc+ca，
∴2（a²+b²+c²）=2（ab+bc+ca）（方程两边同时乘上相同的数，方程不变）
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0，
∴（a²-2ab+b²）+（a²-2ca+c²）+（b²-2bc+c²）=0
∴因式分解得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
易得a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b=c，△abc是等边三角形