Question

【急求】初二几何数学题！

如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。设A、P两点间的距离为x
①当点Q在边CD上时，求证：PB＝PQ
②当点Q在边CD上，设四边形PBCQ为y，求y与x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围
③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

Answer 1

解答：①如图中①所示，通过点P做AD的平行线，分别交AB 、CD于M、N。

因为ABCD为正方形且边长为1，AC为对角线，所以MP=MA，因而MB=1-MA=1-MP=MN-MP=PN

在Rt△BPM和Rt△PQN中，且有PB⊥PQ，∠BPM+∠BPQ+∠QPN=180°

所以：∠BPM+∠QPN=90°所以∠BPM=∠PQN，∠PBM=∠QPN

综上，Rt△BPM≌Rt△PQN，因此：PB=PQ

②“设四边形PBCQ为y”？指的是四边形的面积还是边长？题目少打字了，无法解答。

③先看图片中的②：

此时，Q点在CD上，很显然要构成等腰三角形，必须满足的有条件为：PQ=PC或者QP=QC或者CP=CQ

1、对于PQ=PC：因为∠PCQ=45°，所以∠PQC=45°，那么∠CPQ=90°，即CP⊥QP，而题目中有PB⊥PQ，PC与PB不可能重合，所以这个是不成立的。

2、QP=QC：同样因为∠PCQ=45°，所以∠CPQ=45°，那么∠PQC=90°，此时Q点与N点重合。由于PB⊥PQ，PB将平行于AB，矛盾，所以这个也是不成立的。

3、CP=CQ：则有∠CPQ=∠PQC。因为∠PCQ=45°，∠PQC明显大于90°为钝角，这种情况下不可能出现CP=CQ。

再看图片③：

注意题目中给出的是射线DC，所以Q点只能向这个方向。此时∠PCQ=135°，所以PQ≠PC，QP≠QC。唯一的可能是CQ=CP。

此时同样做BC的平行线分别交AB、CD于M、N。因为AP=x，所以PC=√2-x=CQ，NP=NC=(√2-x）/√2，那么NQ=NC+CQ=（√2-x）（1+1/√2）

而MP=1-PN=1-(√2-x）/√2，可以证明MP=NQ

所以解方程可得到x=1

Answer 2

解答：①如图中①所示，通过点P做AD的平行线，分别交AB 、CD于M、N。
因为ABCD为正方形且边长为1，AC为对角线，所以MP=MA，因而MB=1-MA=1-MP=MN-MP=PN
在Rt△BPM和Rt△PQN中，且有PB⊥PQ，∠BPM+∠BPQ+∠QPN=180°
所以：∠BPM+∠QPN=90°所以∠BPM=∠PQN，∠PBM=∠QPN
综上，Rt△BPM≌Rt△PQN，因此：PB=PQ
②“设四边形PBCQ为y”？指的是四边形的面积还是边长？题目少打字了，无法解答。
③先看图片中的②：
此时，Q点在CD上，很显然要构成等腰三角形，必须满足的有条件为：PQ=PC或者QP=QC或者CP=CQ
1、对于PQ=PC：因为∠PCQ=45°，所以∠PQC=45°，那么∠CPQ=90°，即CP⊥QP，而题目中有PB⊥PQ，PC与PB不可能重合，所以这个是不成立的。
2、QP=QC：同样因为∠PCQ=45°，所以∠CPQ=45°，那么∠PQC=90°，此时Q点与N点重合。由于PB⊥PQ，PB将平行于AB，矛盾，所以这个也是不成立的。
3、CP=CQ：则有∠CPQ=∠PQC。因为∠PCQ=45°，∠PQC明显大于90°为钝角，这种情况下不可能出现CP=CQ。
再看图片③：
注意题目中给出的是射线DC，所以Q点只能向这个方向。此时∠PCQ=135°，所以PQ≠PC，QP≠QC。唯一的可能是CQ=CP。
此时同样做BC的平行线分别交AB、CD于M、N。因为AP=x，所以PC=√2-x=CQ，NP=NC=(√2-x）/√2，那么NQ=NC+CQ=（√2-x）（1+1/√2）
而MP=1-PN=1-(√2-x）/√2，可以证明MP=NQ
所以解方程可得到x=1

Answer 3

如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。设A、P两点间的距离为x
①当点Q在边CD上时，求证：PB＝PQ
②当点Q在边CD上，设四边形PBCQ为y，求y与x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围
③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。
解：连接PD,过B点做AC的垂线BO交AC于点O。
1.在三角形APB和三角形APD中，AB=AD,AP=AP,角PAB=角PAD=45°，三角形APB和三角形APD全等，PB=PD,角PBA=角PDA,角D=角B=90°，角PBC=角PDC,
因为BO垂直于AC,ABCD是正方形，所以角PBC=45°+角PBO,角BPO+角PBO=90°，
角BPO+角CPQ=90°，角PBO=角CPQ,角PQD=45°+角CPQ,角PQD=角PDC,PQ=PD,PQ=PB.
2.过点P做直线MN垂直AD,BC,交AD于M,BC于N,过点P做直线PE垂直CD交CD于点E.
PA=x,PM=根号2*x/2,AC=根号2，PC=根号2-x,PN=CN=DM=1-根号2*x/2,S四边形=S三角形PBC+S三角形PCQ=1/2*PN*BC+1/2*PE*CQ=1/2-根号2*x/4+1/2-3根号2*x/4+1/4x*x=1-根号2*x+1/4x*x
y=1-根号2*x+1/4x*x (0<x<根号2/2).
3.当点P在线段AC上滑动时，△PCQ可能成为等腰三角形.使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置与D点重合，相应的x=根号2/2.

1.

Answer 4

1、因为角BPQ=角BCQ=90度，所以B、C、Q、P四点共圆，得角PQB＝角BCP＝45度，所以三角形BPQ为等腰直角三角形，得PB=PQ
2、由余弦定理得：BP平方=1+x平方-2*x*（根号2）/2=x平方-（根号2）*x+1，CQ平方=2*BP平方-1=2*x平方-2*（根号2）*x+1，CQ=1-（根号2）*x （0＜x＜（根号2）/2）
CQ=（根号2）*x -1 （（根号2）/2＜x＜根号2）
当0＜x＜（根号2）/2 时 y=PB平方/2+BC*CQ/2=【x平方-（根号2）*x+1】/2+【1-（根号2）*x 】/2 =x平方/2-（根号2）*x+1
当（根号2）/2＜x＜（根号2）时 y=PB平方/2+BC*CQ/2=【x平方-（根号2）*x+1】/2-【1-（根号2）*x 】/2 =x平方/2
3、不可能，因为是等腰三角形时，P点与A点重合，Q点与D点重合

Answer 5

利用平行四边形对边相等的原理。
分别从A、B两点出发，按同样的方向，在同一平面内，移动相同的距离后，此时如能测量移动后两点距离即为AB的距离。
注意：肯定要利用测量工具，如指南针之类，要在同一平面内就要保持水平，