Question

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3）和原点，顶点为M点．

Answer 1

（1）抛物线过原点，所以c=0，将A、B坐标代入方程可得：a+b=-3，9a+3b=-3；
解得a=1，b=-4；∴解析式为y=x²-4x；
（2）抛物线顶点M(2,-4)，∠POM=90°，即OP⊥OM；
直线OM的斜率k=-4/2=-2，则直线OP的斜率为1/2，于是OP的方程：y=x/2；
将直线OP方程代入抛物线：x/2=x²-4x，除x=0外，该方程还有一根是9/2，说明OP与抛物线有交点满足题目条件；
（2）过M点与OM垂直的直线如与抛物线相交（除M外至少还有一交点），则交点即符合K的条件；
过M(2,-4)的直线NK方程为：y=(x-2)/2-4=x/2-5，将其代入抛物线方程得：
x/2-5=x²-4x，解得：x=5/2（另有x=2对应M点）；
或者这样判断：过M点与OM垂直的直线如不是抛物线的切线，则它一定与抛物线还有交点，即K点一定存在；
因为M点是抛物线的顶点，切线斜率为0，而与OM垂直的直线MK斜率是1/2，所以MK不是切线；