Question

1.已知函数f(x)=2^x-1/2^x+1. (1)判断f(x)的单调性，并加以证明。 （2）求f(x)的反函数。

Answer 1

解析函数属于复合函数:
设t=2^x
(t>0)
f(x)=(t-1)/(t+1)=1-2/(t+1)
(分离常数法)
∵t>0
∴t+1>1
-2<(-2)/(t+1)<0
(反比例函数,数形结合易得)
得
-1<1-2/(t+1)<1
∴函数的值域为(-1,1)
此函数是增函数.
证明如下:(定义法)
设
x1
x2是r上的任意两实数,且满足
x2
>
x1
δy=f(x2)
-
f(x1)
=
(代入原函数解析式)
整理得:
δy=[2(2^x2
-
2^x1)]/{(2^x1
+1)(2^x2
+1)}
依据指数函数单调性易知
2^x2
-2^x1
>0
2^x>0
∴原函数为增函数
(复合函数法)
设t=2^x
(t>0)
t是增函数
y=1-2/(t+1)
在t>0上是增函数
(可以数形结合,不过不太推荐求导)
同增异减得f(x)是增函数

Answer 2

1.(1)令2^x=t,g(t)=t-1/t+1
g(t)单调递增,2^x单调递增
f(x)单调递增
证
设x1>x2,t1>t2>0
f(x1)-f(x2)=g(t1)-g(t2)=1/t2-1/t1>0
f(x)单调递增
(2)
2^(x+1)=(y-1)+sqrt(y^2-2y+5)
f-1(x)=log2((y-1)+sqrt(y^2-2y+5))-1
2.能量守恒
mg(h+x)=x*(0+x)k/2
f=kx=2mg(1+h/x)>2mg