Question

证明三角形的中位线平行于第三条，且等于第三边的一半。

Answer 1

设三角形为ABC，D.，E是AB、AC的中点，过A作BC的平行线，过E点AB的平行线交BC于F，两平行线交于G，
∵E是AC的中点，AG//BC
∴三角形AEG与CEF全等
∴AG=CF
EG=EF
E是FG的中点
∵AG//BC
FG//AB
∴四边形ABFG是平行四边形
∴AG=BF
AB=FG
∵D是AB的中点，E是FG的中点，且AB=FG
∴DB=EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE//BC
DE=BF＝AG=CF
即DE//=BC/2

Answer 2

先利用两边对应成比例，且夹角相等证明两个三角形相似。
得到同位角相等，从而平行，对应边成比例从而等于第三边的一半。

Answer 3

过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）
∴△ADE≌△CGE
（A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.