Question

如何求分母是二次函数，分母是一次函数的函数的值域?

Answer 1

对于形如(dx^2+ex+f)/(ax^2+bx+c)
(a,b,c,d,e,f为常数)的函数是转化为关于x的二次方程，因为方程有实数解，所以判别式不小于零，从而可求得函数的值域；
例
求函数y=(2x^2-2x+3)/(x^2-x+1)的值域
解：利用判别式法，关键是将原函数变形为二次函数的形式，另外要注意检查变形后二次项系数为零是否符合题意
去分母后变形为：(y-2)x^2-(y-2)x+(y-3)=0
⊿=(y-2)^2-4(y-2)(y-3)=-3y^2+16y-20=(y-2)(-3y+10)>=0
解之得2<=y<=10/3
当y-2=0时，方程-1=0，无意义，舍去
∴原函数的值域为(2,10/3]

Answer 2

有理函数的分子分母都不超过
2
次时，求值域开用判别式法。
去分母，整理成关于
x
的二次方程，令判别式非负，解
y
。