Question

求解二阶微分方程的初值问题：yy''=1+(y')^2，y(1)＝1，y'(1)=0

Answer 1

y'=p;pdp/dy/(1)=0
∴当x=1时;dy)=1+p
==>，或y+√(y
-1)=e^(1-x)，或y'c=0
∴ln(1+p
)=2ln│y│
==>，或dy/=√(y
-1);√(y
-1)=-dx
==>，或y+√(y
-1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y
-1)=e^(x-1);1+p
=y
==>ln(1+p
)=2ln│y│+c
(c是积分常数)
∵y(1)＝1;ln│y+√(y
-1)│=x+c，p=1
==>√(y
-1)=dx;y+√(y
-1)=e^(x-1)，或ln│y+√(y
-1)│=-x+c
（c是积分常数）
∵y(1)＝1
∴c=-1：设y'，或c=1
==>=-√(y
-1)
==>解;y'dy)
代入原方程得yp(dp/'(1+p
)=dy
==>=p(dp/，则y'

Answer 2

解：设y'=p，则y''=p(dp/dy)
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p²
==>pdp/(1+p²)=dy
==>ln(1+p²)=2ln│y│+C
(C是积分常数)
∵y(1)＝1，y'(1)=0
∴当x=1时，p=1
==>C=0
∴ln(1+p²)=2ln│y│
==>1+p²=y²
==>y'=√(y²-1)，或y'=-√(y²-1)
==>dy/√(y²-1)=dx，或dy/√(y²-1)=-dx
==>ln│y+√(y²-1)│=x+C，或ln│y+√(y²-1)│=-x+C
（C是积分常数）
∵y(1)＝1
∴C=-1，或C=1
==>y+√(y²-1)=e^(x-1)，或y+√(y²-1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y²-1)=e^(x-1)，或y+√(y²-1)=e^(1-x)。