Question

高数求证行列式

Answer 1

2cosθ
1
0
...
0
0
1
2cosθ
1
...
0
0
...
0
0
0
...
2cosθ
1
0
0
0
...
1
2cosθ
=sin(n+1)θ/sinθ
证明:行列式记为Dn.
按第1列展开得:
Dn=2cosθD(n-1)
-
D(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时,
D1=2cosθ
sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ.
所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ.
假设k<n时结论成立,
则k=n时
Dn=2cosθD(n-1)
-
D(n-2)
=2cosθsin(n-1+1)θ/sinθ
-
sin(n-2+1)θ/sinθ
=2cosθsinnθ/sinθ
-
sin(n-1)θ/sinθ
=[2cosθsinnθ
-
sin(n-1)θ]/sinθ
=
......
=
sin(n+1)θ/sinθ
所以k=n时结论也成立.
综上可知,
对任意自然数n,
Dn=sin(n+1)θ/sinθ.