Question

已知x>0,y>0,x+y=1求证（1+1/x)(1+1/y)>=9

Answer 1

法一：分析法，往证（1+1/x)(1+1/y)>=9
只要证(x+1)(y+1)>=9xy
即证xy+x+y+1>=9xy
因为x+y=1所以只要证8xy<=2
只要证xy<=1/4即可，这可由均值不等式xy<=(1/4)(x+y)^2=1/4得到，
所以不等式成立。
法二：（1+1/x)(1+1/y)=(2+y/x)(2+x/y)=5+2(x/y+y/x)>=5+2*2=9

Answer 2

要证(1+1/x)(1+1/y)>=9
只需证(x+1)(y+1)>=9xy
即证xy+x+y+1-9xy>=0
2>=8xy
xy<=(x+y)^2/4
即证
8xy<=2(x+y)^2
因为x+y=1
所以
8xy<=2
所以
(1+1/x)(1+1/y)>=9
得证