Question

1/(x^2*根号下(a^2+x^2)）的不定积分怎样求？

Answer 1

∫1/[x√(a^2-x^2)]dx
=
(1/a^2)∫
[
√(a^2-x^2)/
x
+
x/√(a^2-x^2)
]
dx
=(1/a^2)[
∫
√(a^2-x^2)/
x
dx
-
∫
d√(a^2-x^2)
]
=
(1/a^2)
∫
√(a^2-x^2)/
x
dx
-
√(a^2-x^2)/(a^2)
令a/x
=
secb，则(-a/x^2)
dx
=
(tanb)^2db，(-a/(a/secb)^2)
dx
=
(tanb)^2db，dx
=
-a
(sinb)^2
db
，所以：
∫
√(a^2-x^2)/
x
dx
=
∫
tanb[
-a
(sinb)^2
] db
=
-a∫
(sinb)^3/cosb
db
=
a
∫
(1-(cosb)^2)/cosb
dcosb
=
a
[ln|cosb|
-
(cosb)^2/2
]
+
C'
=
a[ln|x/a|
-
(1/2)(x/a)^2]
+
C'
代入可以得到：
∫1/[x√(a^2-x^2)]dx
=
(1/a^2)
∫
√(a^2-x^2)/
x
dx
-
√(a^2-x^2)/(2a^2)
=
(1/a)[ln|x/a|
-
(1/2)(x/a)^2
]
-√(a^2-x^2)/(a^2)
+
C
扩展资料：
不定积分求法：
1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。
2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu
两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。