Question

求微分方程y''-2y'=e^2x的通解

Answer 1

y''
-
2y'
-
3y
=
e^(2x)
齐次部分
y''
-
2y'
-
3y
=
0
对应的特征方程：x^2
-
2x
-
3
=
0
=>
x
=
-1
或者
x
=
3.
基础解系
e^(-x)，e^(3x).
y''
-
2y'
-
3y
=
e^(2x)
有特解
-1/3
*
e^(2x).
所以，通解为：y
=
c1
*
e^(-x)
+
c2
*
e^(3x)
-
1/3
*
e^(2x).
或者，若求得：y"
-
p(x)*y'
-
q(x)*y
=
0
的两个线性无关的特解：u(x)，v(x)，则
非齐次方程：y"
-
p(x)*y'
-
q(x)*y
=
f(x)
的通解公式为：
y
=
c1
*
u(x)
+
c2
*
v(x)
+
∫
[
u(s)*v(x)
-
u(x)*v(s)
]
/
[
u(s)*v
'
(x)
-
v(s)
*
u
'
(x)
]
*
f(s)
ds.
u(x)
=
e^(-x),
v(x)
=
e^(3x).
f(x)
=
e^(2x)，代入计算就能够得到了。

Answer 2

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 3

特征方程
r^2-2r=0
r=0,r=2
所以齐次通解为
y=C1x+C2e^(2x)
由于非齐次右边含在齐次通解中，所以设特解为
y=axe^(2x)
y'=ae^(2x)+2axe^(2x)
y''=4ae^(2x)+4axe^(2x)
代入原方程得
4ae^(2x)+4axe^(2x)-2[ae^(2x)+2axe^(2x)]=e^(2x)
整理比较系数得
2a=1
a=1/2
所以特解是
y=1/2xe^(2x)
原方程的通解是
y=C1x+C2e^(2x)+1/2xe^(2x)