Question

求解关于线性代数的问题,可以作为结论,但不知怎么证明

Answer 1

已知α1，α2，α3为三维列向量，β1，β2，β3为三维列向量.
1.若α1，α2，α3线性无关，且α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，则β1，β2，β3线性相关.这个结论成立吗，如何证明？反证法
假设贝塔123线性无关，由于他是三维列向量
所以他的秩是3
所以它可以表示任何一个三维列向量，所以他就可以表示阿尔法123
这与已知矛盾
所以结论成立。
2.若α1，α2，α3线性无关，且α1，α2，α3能由β1，β2，β3线性表示，则β1，β2，β3线性无关.这个结论成立吗因为阿尔法123线性无关
所以阿尔法123的秩是3
又因为阿尔法123可以
由贝塔123可以表示阿尔法123
所以3=r（阿尔法123）≤r（贝塔123）
又因为贝塔123是三维列向量所以r（贝塔123）≤3
综上
r（贝塔123）=3
所以贝塔123线性无关

Answer 2

谢谢反证法
假设贝塔123线性无关，由于他是三维列向量
所以他的秩是3
所以它可以表示任何一个三维列向量，所以他就可以表示阿尔法123
这与已知矛盾
所以结论成立。一个三维线性无关向量可以表示任意一个三维向量。这是向量的性质吗