Question

证明，lim(a^n/n!)=0 n-∞

Answer 1

洛必达法则不能用，因为不是连续函数，不可求导。
正确的做法是
由stolz定理
设xn=n，yn=a^n.
lim
xn/yn
=
lim
(xn-x(n-1))/(yn-y(n-1)
=
lim
(n-(n-1))/(a^n-a^(n-1))=
lim
1/((a-1)(a^(n-1))),(n→∞,a>1)。
然后按定义就能做。
1/((a-1)(a^(n-1)))是最基本的要求用定义证明的数列，希望lz能自己完成。

Answer 2

令N=
[a]+1,则当n>N时，有n>a,且a/(N+1)<1
所以当n>N时，
a^n/n!
=a/1
*
a/2
*
...
*
a/N
*
a/(N+1)
*
...
a/n
<=a^N
*
(a/(N+1))^(n-N)
右边是趋于0的
而左边大于0是显然的
所以由夹逼有，极限为0