Question

跪求一个求通项公式的方法

Answer 1

结果其实很简单:
a[n]=2
a[n
-
1]/(1
+
a[n
-
1]^2);
设a[1]=x,则
前4项依次为:
x,
(2
x)/(1
+
x^2),
(4
x
+
4
x^3)/(1
+
6
x^2
+
x^4),
(8
x
+
56
x^3
+
56
x^5
+
8
x^7)/(1
+
28
x^2
+
70
x^4
+
28
x^6
+
x^8),
寻找规律发现如果不区分分子分母的话,
x^i的系数与组合中的x^i的系数好像有关系,
然后很容易发现i为奇数时,就在分子上,i为偶数时,就在分母上.
于是总结规律如下:
当n≥2时,
a[n]=
(c[2^(n-1),1]*x^1+c[2^(n-1),3]*x^3+...+c[2^(n-1),2^(n-1)-1]*x^(2^(n-1)))
/(c[2^(n-1),0]*x^0+c[2^(n-1),2]*x^2+...+c[2^(n-1),2^(n-1)]*x^(2^(n-1))),
上式中的c[a,b]表示组合公式中的a中选b,
c[a,b]=a!/b!/(a-b)!
接着的就是用数学归纳法证明结论了.
你选了首项1/2,代了特殊值反而看不出规律了.