Question

设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0)，当a=1时，求f(x)的单调区间

Answer 1

（2010•江西）设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为
1
2
，求a的值．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：（1）已知a=1，f′（x）=
1
x
-
1
2-x
+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．
（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．解答：解：对函数求导得：f′(x)=
1
x
-
1
2-x
+a，定义域为（0，2）
（1）当a=1时，f′（x）=
1
x
-
1
2-x
+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜
2
时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，
2
＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，
2
），单调减区间为（
2
，2）
（2）函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
，f′(x)=
1
x
-
1
2-x
+a＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．
最大值在右端点取到．fmax=f(1)=a=
1
2
所以a=
1
2
．