Question

若a/x²-yz=b/ y²-xz=c/ z²-xy 求证：(x+y+z)(a+b+c)=ax+by+cz

Answer 1

设a/x^2-yz=b/y^2-zx=c/z^2-xy=k
则a=k（x^2-yz）
b=k（y^2-zx）
c=k（z^2-xy）
带入待证式子：
k（x^2-yz）x+k（y^2-zx）y+k（z^2-xy）z
=k（x^3+y^3+z^3-3xyz)
右=k（x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz）*（x+y+z）
即证+x^3+y^3+z^3-3xyz=（x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz）*（x+y+z）
事实上：
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
故即证
以上