Question

求方程式的通解！y″-y′-2y=0;求此微分方程的通解！2y″+y′-y=2e^x;

Answer 1

1。y″-y′-2y=0
解：∵原方程的特征方程是r²-r-2=0，则r1=2,r2=-1
∴原方程的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(-x)
(C1,C2是积分常数)；
2。2y″+y′-y=2e^x
解：∵齐次方程2y″+y′-y=0的特征方程是2r²+r-1=0，则r1=1/2,r2=-1
∴齐次方程2y″+y′-y=0的通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)
(C1,C2是积分常数)
∵设原方程的一个解为y=Ae^x
代入原方程得2Ae^x=2e^x
==>A=1
∴原方程的一个解是y=e^x
故原方程的通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
(C1,C2是积分常数)。

Answer 2

解：首先其次解y''-2y'+y=0的解为y=（cx+d)*e^x
下面求一个特解即y''-2y'+y=e^x
-----(1)
令y=z*e^x
代入（1）有(z*e^x)''-2(z*e^x)'+z*e^x=e^x
即z''e^x+2*z'e^x+z*e^x-2z*e^x-2z'*e^x+z*e^x=e^x
即z''=1
=>z=x^2/2+m*x+n
取z=x^2/2即可
故最后通解=（x^2/2+cx+d)*e^x
c,d为全体数
证毕