Question

设f(x)在点a的某领域内具有二阶连续导数,求

Answer 1

首先要说明：不是求“在x→0时的极限值”，而是求“在h→0时的极限值”
因为设f(x)在点a的某领域内具有二阶连续导数，所以：
lim(h→0){[f(a+h)+f(a-h)-2f(a)]/h^2}
......是（0/0）型未定式，可以使用洛必达法则I，并注意复合函数求导
=lim(h→0){[f'(a+h)-f'(a-h)]/2h}
......又是（0/0）型未定式，继续使用洛必达法则I，也注意复合函数求导
=lim(h→0){[f''(a+h)+f''(a-h)]/2}
=[f''(a)+f''(a)]/2
=f''(a)

Answer 2

x0=(a+b)/2,由泰勒公式：
f(b)=f(x0)+f'(x0)(b-x0)+f''(ξ1)(b-x0)^2/2
f(a)=f(x0)+f'(x0)(a-x0)+f''(ξ2)(a-x0)^2/2
相加：f(b)+f(a)=2f(x0)+(b-a)^2[f''(ξ1)+f''(ξ2)]/8
由于二阶导数连续，由介值性定理：存在ξ使：[f''(ξ1)+f''(ξ2)]/2=f''(ξ)
代入即可