Question

急！A是以BC为直径的圆O上一点，AD垂直BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延...

如图，A是以BC为直径的圆O上一点，AD垂直BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P.
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是圆O的切线；
（3）若FG=BF，且圆O的半径长为3√2，求BD和FG的长度.
希望不是从网上查到的，原创的谢谢

Answer 1

（1）
∵BE是⊙O得切线，
∴BE⊥BC,
又∵AD⊥BC
∴AD‖BE
∴AG:EF=CG:CF=DG:BF
又∵AG=GD
BF=EF
(2)连接AB.OA
∵BC是直径
∴∠BAC=∠BAE=90
又∵BF=EF
∴BF=AF
∴∠FBA=∠FAB
而OA=OB
∴∠OBA=∠OAB
∴∠FBO=∠FAO=90
即PA是圆O的切线
（3）连接BG
∵EF=AF=FB=FG BE‖AD
∴∠BFG=∠FGA=∠FAG=∠EFA
∴△FAE≌△FBG, AC:AE=CD:BD
∴AE=BG
∴AC:BG=CD:BD
又∵AD⊥BC
∴RT⊿BDG∽RT⊿CDA ,AD²=BD*DC
∴CD:BD=AD:DG=2:1
∴BD=1/3BC=1/3*2*3√2=2√2,
∴ DC=4√2
∴AD=4
∴DG=1/2AD=2
又∵BF‖AD
∴DG:BF=CD:BC=2:3
∴BF=3=FG

Answer 2

（1）
∵BE是⊙O得切线，
∴BE⊥BC,
又∵AD⊥BC
∴AD‖BE
∴AG:EF=CG:CF=DG:BF
又∵AG=GD
BF=EF
(2)连接AB.OA
∵BC是直径
∴∠BAC=∠BAE=90
又∵BF=EF
∴BF=AF
∴∠FBA=∠FAB
而OA=OB
∴∠OBA=∠OAB
∴∠FBO=∠FAO=90
即PA是圆O的切线
（3）连接BG
∵EF=AF=FB=FG BE‖AD
∴∠BFG=∠FGA=∠FAG=∠EFA
∴△FAE≌△FBG, AC:AE=CD:BD
∴AE=BG
∴AC:BG=CD:BD
又∵AD⊥BC
∴RT⊿BDG∽RT⊿CDA ,AD²=BD*DC
∴CD:BD=AD:DG=2:1
∴BD=1/3BC=1/3*2*3√2=2√2,
∴ DC=4√2
∴AD=4
∴DG=1/2AD=2
又∵BF‖AD
∴DG:BF=CD:BC=2:3
∴BF=3=FG